解决方案

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方法一：水平扫描法

思路

首先，我们将描述一种查找一组字符串的最长公共前缀 $LCP(S_1 \ldots S_n)$ 的简单方法。 我们将会用到这样的结论：

$LCP(S_1 \ldots S_n) = LCP(LCP(LCP(S_1, S_2),S_3),\ldots S_n)$

算法

为了运用这种思想，算法要依次遍历字符串 $[S_1 \ldots S_n]$，当遍历到第 $i$ 个字符串的时候，找到最长公共前缀 $LCP(S_1 \ldots S_i)$。当 $LCP(S_1 \ldots S_i)$ 是一个空串的时候，算法就结束了。 否则，在执行了 $n$ 次遍历之后，算法就会返回最终答案 $LCP(S_1 \ldots S_n)$。

图 1. 查找最长公共前缀 （水平扫描法）

复杂度分析

• 时间复杂度：$O(S)$，S 是所有字符串中字符数量的总和。

  最坏的情况下， $n$ 个字符串都是相同的。 算法会将 $S1$ 与其他字符串 $[S_2 \ldots S_n]$ 都做一次比较。这样就会进行 $S$ 次字符比较，其中 $S$ 是输入数据中所有字符数量。

• 空间复杂度：$O(1)$， 我们只需要使用常数级别的额外空间。
  
  

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算法二：水平扫描

算法

想象数组的末尾有一个非常短的字符串， 使用上述方法依旧会进行 $S​$ 次比较。 优化这类情况的一种方法就是水平扫描。 我们从前往后枚举字符串的每一列，先比较每个字符串相同列上的字符（即不同字符串相同下标的字符）然后再进行对下一列的比较。

复杂度分析

• 时间复杂度：$O(S)$，S 是所有字符串中字符数量的总和。

  最坏情况下，输入数据为 $n$ 个长度为 $m$ 的相同字符串，算法会进行 $S = m*n$ 次比较。可以看到最坏情况下，本算法的效率与算法一相同，但是最好的情况下，算法只需要进行 $n*minLen$ 次比较，其中 $minLen$ 是数组中最短字符串的长度。

• 空间复杂度：$O(1)$， 我们只需要使用常数级别的额外空间。
  
  

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算法三：分治

思路

这个算法的思路来自于LCP操作的结合律。 我们可以发现： $LCP(S_1 \ldots S_n) = LCP(LCP(S_1 \ldots S_k), LCP (S_{k+1} \ldots S_n))$ ，其中 $LCP(S_1 \ldots S_n)$ 是字符串 $[S_1 \ldots S_n]$ 的最长公共前缀，$1 < k < n$。

算法

为了应用上述的结论，我们使用分治的技巧，将原问题 $LCP(S_i\cdots S_j)$ 分成两个子问题 $LCP(S_i\cdots S_{mid})$ 与 $LCP(S_{mid+1}, S_j)$ ，其中 mid=$\frac{i+j}{2}$。 我们用子问题的解 lcpLeft 与 lcpRight 构造原问题的解 $LCP(S_i \cdots S_j)$。 从头到尾挨个比较 lcpLeft 与 lcpRight 中的字符，直到不能再匹配为止。 计算所得的 lcpLeft 与 lcpRight 最长公共前缀就是原问题的解 $LCP(S_i\cdots S_j)$。

图 2. 查找最长公共前缀的分治方法

复杂度分析

最坏情况下，我们有 $n$ 个长度为 $m$ 的相同字符串。

• 时间复杂度：$O(S)$，$S$ 是所有字符串中字符数量的总和，$S=m*n$。

  时间复杂度的递推式为 $T(n)=2\cdot T(\frac{n}{2})+O(m)$， 化简后可知其就是 $O(S)$。最好情况下，算法会进行 $minLen\cdot n$ 次比较，其中 $minLen$ 是数组中最短字符串的长度。

• 空间复杂度：$O(m \cdot log(n))$

  内存开支主要是递归过程中使用的栈空间所消耗的。 一共会进行 $log(n)$ 次递归，每次需要 $m$ 的空间存储返回结果，所以空间复杂度为 $O(m\cdot log(n))$。

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方法四：二分查找法

这个想法是应用二分查找法找到所有字符串的公共前缀的最大长度 L。 算法的查找区间是 $(0 \ldots minLen)$，其中 minLen 是输入数据中最短的字符串的长度，同时也是答案的最长可能长度。 每一次将查找区间一分为二，然后丢弃一定不包含最终答案的那一个。算法进行的过程中一共会出现两种可能情况：

• S[1...mid] 不是所有串的公共前缀。 这表明对于所有的 j > i S[1..j] 也不是公共前缀，于是我们就可以丢弃后半个查找区间。

• S[1...mid] 是所有串的公共前缀。 这表示对于所有的 i < j S[1..i] 都是可行的公共前缀，因为我们要找最长的公共前缀，所以我们可以把前半个查找区间丢弃。

图 3. 使用二分查找法寻找最长公共前缀

复杂度分析

最坏情况下，我们有 $n$ 个长度为 $m$ 的相同字符串。

• 时间复杂度：$O(S \cdot log(n))$，其中 $S$ 所有字符串中字符数量的总和。

  算法一共会进行 $log(n)$ 次迭代，每次一都会进行 $S = m*n$ 次比较，所以总时间复杂度为 $O(S \cdot log(n))$。

• 空间复杂度：$O(1)$，我们只需要使用常数级别的额外空间。
  
  

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更进一步

让我们看一个有些不同的问题：

给定一些键值字符串 S = $[S_1,S_2 \ldots S_n]$，我们要找到字符串 q 与 S 的最长公共前缀。 这样的查询操作可能会非常频繁。

我们可以通过将所有的键值 S 存储到一颗字典树中来优化最长公共前缀查询操作。 如果你想获得更多关于字典树的信息，可以查看这篇文章 Implement a trie (Prefix trie) 。在字典树中，从根向下的每一个节点都代表一些键值的公共前缀。 但是我们需要找到字符串q 和所有键值字符串的最长公共前缀。 这意味着我们需要从根找到一条最深的路径，满足以下条件：

• 这是所查询的字符串 q 的一个前缀

• 路径上的每一个节点都有且仅有一个孩子。 否则，找到的路径就不是所有字符串的公共前缀

• 路径不包含被标记成某一个键值字符串结尾的节点。 因为最长公共前缀不可能比某个字符串本身长

算法

最后的问题就是如何找到字典树中满足上述所有要求的最深节点。 最有效的方法就是建立一颗包含字符串 $[S_1 \ldots S_n]$ 的字典树。 然后在这颗树中匹配 q 的前缀。 我们从根节点遍历这颗字典树，直到因为不能满足某个条件而不能再遍历为止。

图 4. 使用字典树查找最长公共前缀

复杂度分析

最坏情况下查询字符串 $q$ 的长度为 $m$ 并且它与数组中 $n$ 个字符串均相同。

• 时间复杂度：预处理过程 $O(S)$，其中 $S$ 数组里所有字符串中字符数量的总和，最长公共前缀查询操作的复杂度为 $O(m)$。

  建立字典树的时间复杂度为 $O(S)$。 在字典树中查找字符串 $q$ 的最长公共前缀在最坏情况下需要 $O(m)$ 的时间。

• 空间复杂度：$O(S)$， 我们只需要使用额外的 $S$ 空间建立字典树。