解决方案

方法一：动态规划

思路

让我们改变游戏规则，使得每当李得分时，都会从亚历克斯的分数中扣除。

令 dp(i, j) 为亚历克斯可以获得的最大分数，其中剩下的堆中的石子数是 piles[i], piles[i+1], ..., piles[j]。这在比分游戏中很自然：我们想知道游戏中每个位置的值。

我们可以根据 dp(i + 1，j) 和 dp(i，j-1) 来制定 dp(i，j) 的递归，我们可以使用动态编程以不重复这个递归中的工作。（该方法可以输出正确的答案，因为状态形成一个DAG（有向无环图）。）

算法

当剩下的堆的石子数是 piles[i], piles[i+1], ..., piles[j] 时，轮到的玩家最多有 2 种行为。

可以通过比较 j-i和 N modulo 2 来找出轮到的人。

如果玩家是亚历克斯，那么她将取走 piles[i] 或 piles[j] 颗石子，增加她的分数。之后，总分为 piles[i] + dp(i+1, j) 或 piles[j] + dp(i, j-1)；我们想要其中的最大可能得分。

如果玩家是李，那么他将取走 piles[i] 或 piles[j] 颗石子，减少亚历克斯这一数量的分数。之后，总分为 -piles[i] + dp(i+1, j) 或 -piles[j] + dp(i, j-1)；我们想要其中的最小可能得分。

复杂度分析

• 时间复杂度： $$O(N^2)$$ ，其中 $$N$$ 是石子堆的数目。

• 空间复杂度： $$O(N^2)$$ ，该空间用以存储每个子游戏的中间结果。
  
  

方法二：数学

思路和算法

显然，亚历克斯总是赢得 2 堆时的游戏。 通过一些努力，我们可以获知她总是赢得 4 堆时的游戏。

如果亚历克斯最初获得第一堆，她总是可以拿第三堆。 如果她最初取到第四堆，她总是可以取第二堆。第一+第三，第二+第四 中的至少一组是更大的，所以她总能获胜。

我们可以将这个想法扩展到 N 堆的情况下。设第一、第三、第五、第七桩是白色的，第二、第四、第六、第八桩是黑色的。 亚历克斯总是可以拿到所有白色桩或所有黑色桩，其中一种颜色具有的石头数量必定大于另一种颜色的。

因此，亚历克斯总能赢得比赛。

复杂度分析

• 时间和空间复杂度： $$O(1)$$ 。