解决方案

如果堆中石头的数量 不能被 整除,那么你总是可以赢得 Nim 游戏的胜利。

推理

让我们考虑一些小例子。显而易见的是,如果石头堆中只有一块、两块、或是三块石头,那么在你的回合,你就可以把全部石子拿走,从而在游戏中取胜。而如果就像题目描述那样,堆中恰好有四块石头,你就会失败。因为在这种情况下不管你取走多少石头,总会为你的对手留下几块,使得他可以在游戏中打败你。因此,要想获胜,在你的回合中,必须避免石头堆中的石子数为 4 的情况。

同样地,如果有五块、六块、或是七块石头,你可以控制自己拿取的石头数,总是恰好给你的对手留下四块石头,使他输掉这场比赛。但是如果石头堆里有八块石头,你就不可避免地会输掉,因为不管你从一堆石头中挑出一块、两块还是三块,你的对手都可以选择三块、两块或一块,以确保在再一次轮到你的时候,你会面对四块石头。

显然,它以相同的模式不断重复 ,基本可以看出是 的倍数。

复杂度分析

  • 时间复杂度:,只进行了一次检查。
  • 空间复杂度:,没有使用额外的空间。

参考

Lecture on Nim Games from University of Maryland: MATH 199: Math, Game Theory and the Theory of Games, Summer 2006.