摘要

这篇文章是为中级读者而写的。它介绍了回文，动态规划以及字符串处理。请确保你理解什么是回文。回文是一个正读和反读都相同的字符串，例如， $$\textrm{“aba”}$$ 是回文，而 $$\textrm{“abc”}$$ 不是。

解决方案

---

方法一：最长公共子串

常见错误

有些人会忍不住提出一个快速的解决方案，不幸的是，这个解决方案有缺陷(但是可以很容易地纠正)：

反转 $$S$$ ，使之变成 $$S'$$ 。找到 $$S$$ 和 $$S'$$ 之间最长的公共子串，这也必然是最长的回文子串。

这似乎是可行的，让我们看看下面的一些例子。

例如， $$S = \textrm{“caba”}$$ , $$S' = \textrm{“abac”}$$ ：

$$S$$ 以及 $$S'$$ 之间的最长公共子串为 $$\textrm{“aba”}$$ ，恰恰是答案。

让我们尝试一下这个例子： $$S = \textrm{“abacdfgdcaba”}$$ , $$S' = \textrm{“abacdgfdcaba”}$$ ：

$$S$$ 以及 $$S'$$ 之间的最长公共子串为 $$\textrm{“abacd”}$$ ，显然，这不是回文。

算法

我们可以看到，当 $$S$$ 的其他部分中存在非回文子串的反向副本时，最长公共子串法就会失败。为了纠正这一点，每当我们找到最长的公共子串的候选项时，都需要检查子串的索引是否与反向子串的原始索引相同。如果相同，那么我们尝试更新目前为止找到的最长回文子串；如果不是，我们就跳过这个候选项并继续寻找下一个候选。

这给我们提供了一个复杂度为 $$O(n^2)$$ 动态规划解法，它将占用 $$O(n^2)$$ 的空间（可以改进为使用 $$O(n)$$ 的空间）。请在这里阅读更多关于最长公共子串的内容。

---

方法二：暴力法

很明显，暴力法将选出所有子字符串可能的开始和结束位置，并检验它是不是回文。

复杂度分析

• 时间复杂度： $$O(n^3)$$ ，假设 $$n$$ 是输入字符串的长度，则 $$\binom{n}{2} = \frac{n(n-1)}{2}$$ 为此类子字符串(不包括字符本身是回文的一般解法)的总数。因为验证每个子字符串需要 $$O(n)$$ 的时间，所以运行时间复杂度是 $$O(n^3)$$ 。

• 空间复杂度： $$O(1)$$ 。
  
  

---

方法三：动态规划

为了改进暴力法，我们首先观察如何避免在验证回文时进行不必要的重复计算。考虑 $$\textrm{“ababa”}$$ 这个示例。如果我们已经知道 $$\textrm{“bab”}$$ 是回文，那么很明显， $$\textrm{“ababa”}$$ 一定是回文，因为它的左首字母和右尾字母是相同的。

我们给出 $$P(i,j)$$ 的定义如下：

$$P(i,j) = \begin{cases} \text{true,} &\quad\text{如果子串} S_i \dots S_j \text{是回文子串}\\ \text{false,} &\quad\text{其它情况} \end{cases}$$

因此，

$$P(i, j) = ( P(i+1, j-1) \text{ and } S_i == S_j )$$

基本示例如下：

$$P(i, i) = true$$

$$P(i, i+1) = ( S_i == S_{i+1} )$$

这产生了一个直观的动态规划解法，我们首先初始化一字母和二字母的回文，然后找到所有三字母回文，并依此类推…

复杂度分析

• 时间复杂度： $$O(n^2)$$ ， 这里给出我们的运行时间复杂度为 $$O(n^2)$$ 。

• 空间复杂度： $$O(n^2)$$ ， 该方法使用 $$O(n^2)$$ 的空间来存储表。

补充练习

你能进一步优化上述解法的空间复杂度吗？

---

方法四：中心扩展算法

事实上，只需使用恒定的空间，我们就可以在 $$O(n^2)$$ 的时间内解决这个问题。

我们观察到回文中心的两侧互为镜像。因此，回文可以从它的中心展开，并且只有 $$2n - 1$$ 个这样的中心。

你可能会问，为什么会是 $$2n - 1$$ 个，而不是 $$n$$ 个中心？原因在于所含字母数为偶数的回文的中心可以处于两字母之间（例如 $$\textrm{“abba”}$$ 的中心在两个 $$\textrm{‘b’}$$ 之间）。

复杂度分析

• 时间复杂度： $$O(n^2)$$ ， 由于围绕中心来扩展回文会耗去 $$O(n)$$ 的时间，所以总的复杂度为 $$O(n^2)$$ 。

• 空间复杂度： $$O(1)$$ 。
  
  

---

方法五：Manacher 算法

还有一个复杂度为 $$O(n)$$ 的 Manacher 算法，你可以在这里找到详尽的解释。然而，这是一个非同寻常的算法，在45分钟的编码时间内提出这个算法将会是一个不折不扣的挑战。但是，请继续阅读并理解它，我保证这将是非常有趣的。